Question

已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求f（1），f（

已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（16x）+f（x-5）≤0．

Answer 1

（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；

证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f（

1

6

x）+f（x-5）≤0可化为f[

1

6

x（x-5）]≤f（1），f（|

1

6

x（x-5）|）≤f（1），
∴-1≤

1

6

x（x-5）≤1，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x-5）图象与y=6，y=-6两直线．
由图可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．