Question

高一函数求解

设函数a大于等于0函数f(x)=x的平方+（x-a）的绝对值+1，x属于实数
问：函数f(x)的最小值

Answer 1

(1)当x>=a时，
f(x)=x^2+x-a+1
=(x+1/2)^2+3/4-a
由于，x>-1/2时，f(x)单调递增
所以此时，f(x)min=f(a)=a^2+1
而，a>=0，所以，a=0时，f(x)min=1

(2)当x<=a时，
f(x)=x^2+a-x+1
=(x-1/2)^2+3/4+a
0<=a<=1/2时，f(x)单调递减
f(x)min=f(a)=f(1/2)=(1/2)^2+1=5/4
a>1/2时，f(x)单调递增
f(x)min=f(1/2)=(1/2)^2+1=5/4

Answer 2

因为X>a时，f(x)单调递增
X<=a时，f(X)=x^2-x+a+1=(x-0.5)^2+a+0.75
所以a>0.5时f(x)的最小值为a+0.75
a<=0.5时，f(x）的最小值为a^2+1

Answer 3

当a≤x时，f(x)=x^2+x+1-a,∵二次项系数为1大于0，对称轴为直线x=-1/2∴最小值为3/4-a（a≤-1/2），是5/4
当a≥x时，f(x)=x^2-x+1+a,∵二次项系数为1大于0，对称轴为直线x=1/2∴最小值为3/4+a（a≥1/2），是5/4
∴函数f(x)的最小值 是5/4