Question

数学椭圆椭圆

椭圆椭圆你写这

Answer 1

解： (1)设椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a＞b＞0)上任意一点M（x，y）
则 向量F1M＝（x+c,y） 向量F2M=(x-c,y)
∴向量F1M乘以F2M=(x+c)*(x-c)+y^2=x^2+y^2-c^2=0
又∵y^2=b^2-b^2x^2/a^2
∴x^2+b^2-b^2x^2/a^2-c^2=0
而b^2=a^2-c^2
∴整理得： c^2x^2+a^4-2a^2c^2=0
即 x^2=(2a^2c^2-a^4)/c^2
∵点M（x，y）在椭圆上 ∴0≤x^2≤a^2
∴0≤(2a^2c^2-a^4)/c^2≤a^2
解得： c^2≤a^2 2c^2≥a^2
∴c^2/a^2=e^2≥1/2 而 e^2＜1 0 ＜e＜1
∴ 1/2≤e^2＜1 解得 ： √2/2≤e＜1
(2)当e去最小值时 即 e＝√2/2 c^2=a^2/2
∴b^2=a^2-c^2=a^2/2 ∴a^2=2b^2
∴椭圆 方程为： x^2/（2b^2）+y^2/b^2=1
又椭圆经过点N（4，2√2） ∴16/（2b^2）+8/b^2=1
解得： b^2=16
∴椭圆 方程为： x^2/32+y^2/16=1
假设能 设直线l为 y＝kx+d 点 A(x1,y1) B(x2,y2)
联立方程得 ｛ y＝kx+d ，x^2/32+y^2/16=1 ｝ 消去y得：
(2k^2+1)x^2+4kdx+2d^2-32=0
∴x1+x2=-4kd/(2k^2+1) ∴y1+y2=k(x1+x2)+2d
=2d/(2k^2+1)
而△＝32k^2-d^2+16
Q(x3,y3)为AB中点
∴x3=(x1+x2)/2=-2kd/(2k^2+1) y3=d/(2k^2+1)
又 点P（0，-√3/3）
∴PQ的斜率为 k1＝-｛d+√3(2k^2+1)/3｝/2kd
∵AB关于过点P和点Q的直线对称
∴AB垂直于直线PQ
∴k1*k＝-1 得 -｛d+√3(2k^2+1)/3｝/2d＝-1
解得： d＝√3（2k^2+1）/3
∴d^2=(2k^2+1)^2/3=(4k^4+4k^2+1)/3 代人
△＝32k^2-d^2+16 整理得： △＝32k^2-（4k^4+4k^2+1)/3 +16
又∵△＞0 ∴32k^2-（4k^4+4k^2+1)/3 +16＞0
即 （2k^2+1）*(2k^2-47)＜0 且 k^2＞0
解得 0 ＜k^2＜ 47/2
∴ -√94/2＜k＜0 或 0 ＜k＜√94/2

Answer 2

椭圆椭圆