一道高中数学竞赛问题
g:C→C，ω∈C，a∈C,ω^3=1,ω≠1.证明有且仅有一个函数f:C→C,满足f(z)+f(ωz+a)=g(z),z∈C.求出f....
g: C→C，ω∈C，a∈C, ω^3=1, ω≠1.证明有且仅有一个函数f: C→C,满足f(z)+f(ωz+a)=g(z), z∈C.求出f.
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f(z)+f(ωz+a)=g(z), (1)
以ωz+a代替z,得到,f(ωz+a)+f(ω(ωz+a)+a)=g(ωz+a), ==>f(ωz+a)+f(ω^2z+ωa+a)=g(ωz+a),(2)
以ω^2z+ωa+a代替z,得到,f(ω^2z+ωa+a)+f(ω(ω^2z+ωa+a)+a)=g(ωz+a), ==>f(ω^2z+ωa+a)+f(z)=g(ω^2z+ωa+a), (3)（因为 ω^3=1,ω≠1,得到ω^2+ω+1=0）
然后由(1)+(3)-(2),得到f(z)=[g(ω^2z+ωa+a)+g(z)-g(ωz+a)]/2,显然这样的f是唯一满足要求的啦。
以ωz+a代替z,得到,f(ωz+a)+f(ω(ωz+a)+a)=g(ωz+a), ==>f(ωz+a)+f(ω^2z+ωa+a)=g(ωz+a),(2)
以ω^2z+ωa+a代替z,得到,f(ω^2z+ωa+a)+f(ω(ω^2z+ωa+a)+a)=g(ωz+a), ==>f(ω^2z+ωa+a)+f(z)=g(ω^2z+ωa+a), (3)（因为 ω^3=1,ω≠1,得到ω^2+ω+1=0）
然后由(1)+(3)-(2),得到f(z)=[g(ω^2z+ωa+a)+g(z)-g(ωz+a)]/2,显然这样的f是唯一满足要求的啦。
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