Question

求解高数中积分曲面关于xoy,yoz,zox对称的问题

由这两题目为例，什么叫积分曲面关于某个面对称，为什么某些对称之后积分就变成了0？在第(3)题中， ∑不也应该关于xoy面对称吗，为什么∫∫ ∑ z dS却不等于0？

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Answer 1

面积分很容易判断，跟重积分一样的
只要函数是奇函数，关于那个墙面对称的话，积分结果0
就如∫∫ yz dS = ∫∫ zx dS = ∫∫ xy dS = 0

因为球面Σ是关于三轴都是对称的

但如果Σ只是上半球部分，即z ≥ 0，不是关于xoy面对称的
对于z，虽然这是奇函数，由于Σ不具对称性，所以积分结果不是0，这要注意
∫∫ z dS ≠ 0
但对于x和y，Σ是关于x轴和y轴对称的，所以∫∫ x dS = ∫∫ y dS = 0

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追问

那也就是说，关于zoy面对称的话，就去判断关于x的函数是否为奇函数，关于zox对称的话，就去判断带有y的函数它是否为奇函数，是这样吗

追答

是的