Question

y=f(x)是定义在正实数上的函数，满足（1）对正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)(2)当x>1时，f(x)<0(3)f(3)=-1。

问题（1）求f(1),f(1/9)的值（2）如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立，求x的范围（3）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f(2-x)<2有解，求正数k的取值范围

Answer 1

解：（1）令x=y=1，则f(xy)=f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
令xy=1则y=1/x f(xy)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
而f(9)=f(3)+f(3)=-2
所以f(1/9)=0-f(9)=2
(2)先证明函数的单调性哦
当x>1时，令x1>x2>1 则x1/x2>1 ,f(x1/x2)=f(x1)+f(1/x2)<0
又f(x)+f(1/x)=0
上式=f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
当0<x<1时，令1>x1>x2>0 则x1/x2>1,f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x）在定义域上为减函数
原式=f(-x^2+2x)<2=f(1/9)
所以-x^2+2x>1/9
解得x大于一减三分之二倍根号二，小于一加三分之二倍根号二

（3）f(kx)+f(2-x)=f(-kx^2+2kx)<2
同上可得 -kx^2+2kx>1/9
因为这里x的范围是正实数所以
kx^2-2kx+1/9<0的解是正数
k大于0，开口向上，故同时满足：

1：b^2-4ac大于等于0；
2：-b/a>0
3:c/a>0

解得 k大于等于1/9

Answer 2

1. f(1) = f(1*1) = f(1) + f(1) => f(1) = 0
f(1/9) = f(9 * 1/9) - f(9) = f(1) - f(3*3) = f(1) - f(3) -f(3)
= 2

2. 由于x>1，y>0时，xy>y,又f(x)<0， f(xy) = f(x)+f(y) < f(y)
=> 当x>1，y>0时，f(x)单调递减。
由于0<x<1，y>0时，xy<y, f(x) = f(x * 1/x)-f(1/x) = 0 - f(1/x) >0
=> 当0<x<1，0<y<1时，xy<x, f(xy) = f(x)+f(y) > f(x), f(x)单调递减
当0<x<1，y>1时，xy>x, f(xy) = f(x)+f(y) < f(x), f(x)单调递减

=> 对任意x>0, f(x)单调递减.

f(x)+f(2-x)<2
=> f(x*(2-x)) < f(1/9) ; 0<x<2
=> x*(2-x) > 1/9
=> x^2 - 2x + 1/9 < 0
=> -2J2/3 + 1 < x < 1 + 2J2/3 (暂时用J表示根号吧 =.=)

3. 设存在
f（kx）+f(2-x)<2
=> f(kx*(2-x)) < f(1/9); (1)当k>0时,0<x<2 (2)当k<0时，x<0
由(1) => kx(2-x) > 1/9
=> k(x^2-2x+1) + 1/9-k < 0
=> 1/9-k<0; 当0<x<2，0<x^2-2x+1<1
=> k>1/9

由(2) => kx(2-x) > 1/9
=> k(x^2-2x+1) + 1/9-k < 0
由于当x<0，x^2-2x+1>1
=> k(x^2-2x+1) < k
=> k<0

Answer 3

1. f(1) = f(1*1) = f(1) + f(1) => f(1) = 0
f(1/9) = f(9 * 1/9) - f(9) = f(1) - f(3*3) = f(1) - f(3) -f(3)
= 2