Question

对任意实数x,y有f（x）+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,则对正整数n,f(n)的表达式为f(n)=?

Answer 1

对任意实数x,y有f（x）+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,则对正整数n,f(n)的表达式为f(n)=?
解：令x=n，y=1，代入f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1，得：
f(n)+1=f(n+1)-n-1，故f(n+1)-f(n)=n+2 (n≧1)
将n=1，2，3，.....，n依次代入上式得：
f(2)-f(1)=3
f(3)-f(2)=4
f(4)-f(3)=5
...............
f(n)-f(n-1)=n+1
将以上n-1个等式竖向相加，即得：
f(n)-f(1)=3+4+5+.....+(n+1)=(3+n+1)(n-1)/2=(n+4)(n-1)/2
∴f(n)=1+(n+4)(n-1)/2=(2+n²+3n-4)/2=(n²+3n-2)/2 ； (n≧1，n∈N)

Answer 2

f（x）+f(y)=f(x+y)-xy-1,
取y=1
f(x)+f(1)=f(x+1)-x-1
f(x)-f(x+1)=-x-2
f(n+1)-f(n)=n+2
f(n)-f(n-1)=n+1
f(n-1)-f(n-2)=n
........
f(2)-f(1)=3
相加得
f(n)-f(1)=3+4+...+(n+1)=(n+4)(n-1)/2
f(1)=1
f(n)=(n+4)(n-1)/2+1=1/2n^2+3/2n-1

Answer 3

f(n)=f(n-1)+n+1
f(n-1)=f(n-2)+n
....
f(2)=f(1)+3
f(n)=f(1)+3+4...+n+1
=1+(n+4)(n-1)/2