Question

问一下这道（14题）函数题的第三问，答案看不太懂

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Answer 1

f(x)=(4x-a)/(x²+1)
f'(x)=[4x²+4-8x²+2ax]/(x²+1)²
=-2(2x²-ax-2)/(x²+1)²
驻点：x=α，x=β
由二次函数图像（开口向下，零点间部分在x轴上方）可知：
α<x<β时 分子>0,且分母恒大于0，
∴f'(x)>0 f(x)为增函数
(3)由于驻点x=α，左负右正，故为极小值点，同理x=β为极大值点
∴x∈(-∞,α)∪(β,+∞)单调递减
∵lim(x→∞)f(x)=0
∴f(α)<0 f(β)>0
f(β)-f(α)=f(β)+(-f(α)) (-f(α)>0)
∴f(β)-f(α)≥2√f(β)·(-f(α))=4 （均值不等式）
当且仅当 f(β)=-f(α)=2时等号成立
∴a=0

追问

问下最后这两步
当且仅当 f(β)=-f(α)=2时等号成立
∴a=0
是怎么根据上面这步得出a=0的

追答

-(4α-a)/(α²+1)=(4β-a)/(β²+1)
β=-1/α
(4α-a)/(α²+1)=(4/α+a)/(1/α²+1)=(4α+aα)/(α²+1)
-a=aα
∴a=0或a≠0时，α=-1
α=-1=(-a-√16+a²)/4→a=0
∴a=0

追问

β=-1/α怎么来的

追答

你先面不是已经用韦达定理求出来了吗？

追问

(4α-a)/(α²+1)=(4/α+a)/(1/α²+1)=(4α+aα)/(α²+1)

这步最后是不是4α+aα^2，少了个平方

追答

是的。α²≠-1→a=0