一道高中数学题，柯西不等式
已知a,b为正数，a+b=1,t1,t2为正数，求证（at1+bt2)(bt1+at2)>=t1t2...
已知a,b为正数，a+b=1,t1,t2为正数，求证（at1+bt2)(bt1+at2)>=t1t2
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(at1＋bt2)(bt1＋at2)
=(at1＋bt2)(at2＋bt1)
>=[a*根号(t1t2) b*根号(t1t2)]^2
=[(a＋b)(根号t1t2)]^2
=t1t2
当且仅当a=b
即 a=b=1/2时该不等式取“＝”
楼主手机打字很辛苦啊
=(at1＋bt2)(at2＋bt1)
>=[a*根号(t1t2) b*根号(t1t2)]^2
=[(a＋b)(根号t1t2)]^2
=t1t2
当且仅当a=b
即 a=b=1/2时该不等式取“＝”
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由柯西不等式
(at1+bt2)(bt1+at2)
=((√at1)^2+(√bt2)^2)((√at2)^2+(√bt1)^2)
≥(a√t1t2+b√t1t2)^2
=(a+b)^2t1t2
=t1t2
∴原不等式成立
(at1+bt2)(bt1+at2)
=((√at1)^2+(√bt2)^2)((√at2)^2+(√bt1)^2)
≥(a√t1t2+b√t1t2)^2
=(a+b)^2t1t2
=t1t2
∴原不等式成立
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(at1+bt2)(bt1+at2)
= ab (t1^2 +t2^2) + (a^2 + b^2) t1t2
>= 2ab t1t2 + (a^2+b^2) t1t2 (因为t1, t2为正数）
= t1t2(a^2+2ab+b^2)
= t1t2 (a+b)^2 （因为a+b=1)
= t1t2
= ab (t1^2 +t2^2) + (a^2 + b^2) t1t2
>= 2ab t1t2 + (a^2+b^2) t1t2 (因为t1, t2为正数）
= t1t2(a^2+2ab+b^2)
= t1t2 (a+b)^2 （因为a+b=1)
= t1t2
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