Question

几个极限问题

①lim（x—>∞）（x-1)cosx=？
②lim（x—>∞）[（x^2/3)(sinx)]/(x+1)=?
③lim(x—>∞）sinx/x=?
①和③形式上有啥区别？

Answer 1

x—>∞对sinx和cosx没有实际的意义，这么跟你说吧，当x=2nπ+π/2，n=1.2.3....且x—>∞时，cosx—>0.当x=2nπ，n=1.2.3....且x—>∞时，cosx—>1，所以说，x—>∞时，cosx的极限值无法确定，但是有范围，即
-1<=cosx<=1.sinx相同。
故，第一题只能分类讨论，cosx=0时，lim（x—>∞）（x-1)cosx=0，cosx不为0时，lim（x—>∞）（x-1)cosx—>∞。
第二题同理，当x—>∞且sinx=0时，
lim（x—>∞）[（x^2/3)(sinx)]/(x+1)=0。
当x—>∞且sinx不为0时，lim（x—>∞）[（x^2/3)(sinx)]/(x+1)—>0（可以对（x^2/3）/(x+1)分子分母同时求导，然后得到其求导后—>0），故综上lim（x—>∞）[（x^2/3)(sinx)]/(x+1)=0
第三题，现在你应该明白了吧，不管x—>∞与否，sinx的绝对值定然小于等于1，所以lim(x—>∞）sinx/x=0

Answer 2

(1) 不存在，可取x_k=2kpi 和x_k=2kpi+pi/2 算得不同的极限

（2) 0
sinx 在【－1.1】之间，而（x^2/3）/(x+1)趋向于1/x^(1/3)趋向于0

（3） 0
sinx 在【－1.1】之间，而1/x趋向于0