Question

急！证明题

设0<a,b,c<1,求证：（1-a）b,(1-b)c,(1-c)a不同时大于1/4.

Answer 1

用反证法来证明：
假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4，
由于a，b，c∈(0，1)，
所以
√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假设不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4。

注：本题用到了以下的基本不等式：
由于(√a-√b)^2≥0，展开得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。
②式利用了该基本不等式。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/21907852.html

Answer 2

假设他们同时 大于1/4 即有(1-a)b>1/4 (1-b)c>1/4 (1-c)a>1/4
所以a(1-a)b(1-b)c(1-c)>1/64
又0<a(1-a)<=[(1-a+a)/2]^2=1/4 0<b(1-b)<=[(1-b+b)/2]^2=1/4 0<c(1-c)<=[(1-c+c)/2]^2=1/4
所以a(1-a)b(1-b)c(1-c)<1/64矛盾
所以假设不成立，所以（1-a）b,(1-b)c,(1-c)a不同时大于1/4.