Question

高等数学，复变函数，请问怎么求f(z)=z^3+2iz的解析区域和奇点?

Answer 1

该函数在复平面处处解析。没有奇点。

z=x+iy

代入得：f(z)=(x+iy)³+2i(x+iy)

=x³+3ix²y-3xy²-iy³+2ix-2y

=x³-3xy²-2y+i(3x²y-y³+2x)

则：u=x³-3xy²-2y,v=3x²y-y³+2x

解析要求满足柯西黎曼条件

∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x

∂u/∂x=3x²-3y²,∂v/∂y=3x²-3y²二者相等

∂u/∂y=-6xy-2,∂v/x=6xy+2二者互为相反数,满足柯西黎曼条件,因此该函数在复平面处处解析。

f '(z)=3z²+2i

扩展资料

实数中当某点看似 "趋近" 至 ±∞ 且未定义的点，即是一奇点x= 0。方程式g（x） = |x|（参见绝对值）亦含奇点x= 0（由于它并未在此点可微分）。同样的，在y=x有一奇点（0,0），因为此时此点含一垂直切线。

一个代数集合在（x,y）维度系统定义为y= 1/x有一奇点（0,0），因为在此它不允许切线存在。 [1] 

几何学中的奇点

“几何意义上的奇点”，也是无限小且不实际存在的“点”。可以想象一维空间（如线），或二维空间（如面），或三维空间，当它无限小时，取极限小的最后的一“点”，这一个不存在的点，即奇点。

数学图论

在数学图论中，无向图G中，与顶点v关联的边的数目（环算两次）,称为顶点v的度或次数，称度为奇数的顶点为奇点。

Answer 2

z=x+iy
代入得：f(z)=(x+iy)³+2i(x+iy)
=x³+3ix²y-3xy²-iy³+2ix-2y
=x³-3xy²-2y+i(3x²y-y³+2x)
则：u=x³-3xy²-2y,v=3x²y-y³+2x
解析要求满足柯西黎曼条件
∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x
∂u/∂x=3x²-3y²,∂v/∂y=3x²-3y²二者相等
∂u/∂y=-6xy-2,∂v/x=6xy+2二者互为相反数,满足柯西黎曼条件,因此该函数在复平面处处解析
f '(z)=3z²+2i

Answer 3