Question

谁能帮我解决一道高中数学，感激不尽

A,B属于（0，二分之派）且A+B不等于二分之派，角A,B满足条件：sinB=sinAcos(A+B)
(1)用tanA表示tanB
(2)求tanB最大值

Answer 1

sin B =sinA cos(A+B)
sin B=sinA (cosA cos B-sin A sin B)
=sinA*cosA cos B (1-tan A tan B)
tan B=sinA*cosA (1-tan A tan B)=1/2*sin 2A (1-tan A tan B)
=1/2*sin 2A -1/2*sin 2A *tan A tan B
tan B*(1+1/2*sin 2A *tan A)=1/2*sin 2A
tan B=1/2*sin 2A/(1+1/2*sin 2A *tan A)，
因为 sin 2A=2*tan A/(1+(tan A)^2)，
所以 tan B=[tan A/(1+(tan A)^2]/[1+(tan A)^2/(1+(tan A)^2)]
=tan A/(1+2(tan A)^2)。

设tanA=t，则t∈(0, +∞)，
tan B=t/(1+2*t^2)>0，
1/tan B=(1+2*t^2)/t=1/t+2t≥2*√(1/t*2t)=2√2，等号当且仅当1/t=2t，即t=1/√2时成立
tan B≤1/2√2=√2/4，
tan B最大值为√2/4，当t=1/√2即A=π/4时成立。

Answer 2

将左边的Β变为Β+Α-Α再展开再除以余弦就能得到tanA与tanB的关系式，加上已知条件求得anB最大值