Question

问两道高中数学函数方程的题，要有过程,在线等！

函数f：N*——N*，满足
（1）f(n+1)>f(n）,n属于N*
(2)f(f(n))=3n
求f(2010)

设函数f:R——R,使得对任意x,y属于R，有f(xf(x)+f(y))=f²(x)+y
求f(x)

Answer 1

1.注意：f(f(n))=3n,用f(n)替换n，得到f(f(f(n)))=f(3n)
又注意到f(f(f(n)))里，设f(n)=m，则f(f(f(n)))=f(f(m))=3m=3f(n)
因此，f(3n)=3f(n)
又由于f(f(0))=0,如果f(0)>0,那么f(f(0))>f(0)>=0,矛盾，所以f(0)=0
同样，有f(1)>=1,f(1)<=f(f(1))=3,因此f(1)=1,2或者3
代入f（1）=1，则3=f(f(1))=f(1)=1矛盾
代入f（1）=3，则f(3)=f(f(1))=3,与f(n+1)>f(n）,n属于N*矛盾
因此，f（1）=2
写下数列的前几项进行观察，用数学归纳法可以证明通项公式为：
f(3^k+m)=2*3^k+m(0<=m<=3^k,k>=0)
f(2*3^k+n)=3^(k+1)+3n (1<=n<=3^k,k>=0)
因此f（2010）=f(2*3^6+552)=3^7+3*552=3843

2.令x=0，有f(f(y))=f(0)^2+y 为线性函数，所以f(y)也是线性函数
设f(y)=ay+b,代入，有：a(ay+b)+b=f(0)^2+y恒成立
因此：a^2=1,ab+b=f(0)^2
当a=-1，得f（0）=0，这时f(f(y))=y,f(y)=-y+b.
因此f(xf(x)+f(y))=f(x(-x+b)-y+b)=x^2-bx+y-b+b)=x^2-bx+y
而且f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y=x^2-2bx+b^2+y
因此x^2-bx+y=x^2-2bx+b^2+y 对任意x，y成立，所以b=0
此时f(x)=-x，代入题目中，等式成立
当a=1，有b=f(0)^2/2，f(x)=x+f(0)^2/2
代入x=0，得到f(0)=0或者2
当f(0)=0,f(x)=x,代入题目中，等式成立
当f(0)=2,有f(x)=x+2
代入原等式，有
左边=f(xf(x)+f(y))=f(x(x+2)+(y+2))=x(x+2)+(y+2)+2=x^2+2x+y+4
右边=f(x)^2+y=(x+2)^2+2=x^2+4x+y+4
两边不恒相等，矛盾
综上可得：f(x)=x,或者f(x)=-x

希望能帮助到你

Answer 2

第一题:n=1时,f(f(1))=3,又f(1)也是正整数,且是函数的最小值.
若f(1)=1,则代入f(f(1))=f(1)=3得出矛盾;
若f(1)=3，同理代入得f(f(1))=f(3)=3，由f(n+1)>f(n）知矛盾;
若f(1)>3，同理也可以得出矛盾;
故f(1)=2。 由 f(f(n))=3n 可得f(2)=3
后面暂时不知到...不好意思

Answer 3

f(n)=根号3倍n