Question

若f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→+∞f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界

若f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→+∞f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界若f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→+∞f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界

Answer 1

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为A

则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-A|<1

即A-1<f(x)<A+1，f(x)在(d,+∞)上有界

若d<a，则对任意x>a，有A-1<f(x)<A+1，即f(x)有界

若d>=a，因为f(x)在[a,d]上连续，所以f(x)在[a,d]上有界

即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界

综上所述，f(x)在[a,+∞)上有界

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

扩展资料

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2)．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。

但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

Answer 2

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为A
则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1，f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a，则对任意x>a，有A-1<f(x)<A+1，即f(x)有界
若d>=a，因为f(x)在[a,d]上连续，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述，f(x)在[a,+∞)上有界
若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
扩展资料
关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2)．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。
但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

Answer 3

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为A
则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1，f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a，则对任意x>a，有A-1<f(x)<A+1，即f(x)有界
若d>=a，因为f(x)在[a,d]上连续，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述，f(x)在[a,+∞)上有界

追问

则根据极限定义……这一句话怎么理解

追答

就是极限的定义，ε-d定义

Answer 4

设limf﹙x﹚＝A ﹙x趋于无穷大﹚
∴任意ε 存在X＞A 当x＞X时 ｜f﹙x﹚－A｜＜ε/4 ∴对任意x₁、x₂∈﹙X,﹢∞﹚ 有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－A｜＋｜f﹙x₂﹚－A｜＜ε/2
由康托定理 f﹙x﹚在[a,X]一致连续 因而存在δ＜X－a 使｜x₁－x₂｜＜δ,x₁,x₂∈[a,X]时 ｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2
从而对任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ 就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε
∴其一致连续