设f在[a,+∞)上连续,lim(x→+∞)fx存在,证明:f在[a,+∞)上至少可能取到最大最小
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因为lim(x->+∞)f(x)存在,不妨令其为A
则根据极限定义,对ε=1,存在正数d>0,使对任意x>d,有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1,f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a,则对任意x>a,有A-1<f(x)<A+1,即f(x)有界
若d>=a,因为f(x)在[a,d]上连续,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
则根据极限定义,对ε=1,存在正数d>0,使对任意x>d,有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1,f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a,则对任意x>a,有A-1<f(x)<A+1,即f(x)有界
若d>=a,因为f(x)在[a,d]上连续,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
追问
是至少取得一个,不是有界
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