若f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→+∞f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界
因为lim(x->+∞)f(x)存在,不妨令其为A
则根据极限定义,对ε=1,存在正数d>0,使对任意x>d,有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1,f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a,则对任意x>a,有A-1<f(x)<A+1,即f(x)有界
若d>=a,因为f(x)在[a,d]上连续,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
若存在两个常数m和M,使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。
扩展资料
关于函数的有界性.应注意以下两点:
(1)函数在某区间上不是有界就是无界,二者必属其一;
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2).如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间,那么函数一定是无界的。
如果自变量在某一点处的增量趋于0时,对应函数值的增量也趋于0,就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意:在函数极限的定义中曾经强调过,当x→x0时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。
但由于现在函数在x0处连续,则表示f(x0)必定存在,显然当Δx=0(即x=x0)时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
则根据极限定义,对ε=1,存在正数d>0,使对任意x>d,有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1,f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a,则对任意x>a,有A-1<f(x)<A+1,即f(x)有界
若d>=a,因为f(x)在[a,d]上连续,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
若存在两个常数m和M,使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。
扩展资料
关于函数的有界性.应注意以下两点:
(1)函数在某区间上不是有界就是无界,二者必属其一;
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2).如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间,那么函数一定是无界的。
如果自变量在某一点处的增量趋于0时,对应函数值的增量也趋于0,就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意:在函数极限的定义中曾经强调过,当x→x0时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。
但由于现在函数在x0处连续,则表示f(x0)必定存在,显然当Δx=0(即x=x0)时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
则根据极限定义,对ε=1,存在正数d>0,使对任意x>d,有|f(x)-A|<1
即A-1<f(x)<A+1,f(x)在(d,+∞)上有界
若d<a,则对任意x>a,有A-1<f(x)<A+1,即f(x)有界
若d>=a,因为f(x)在[a,d]上连续,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
则根据极限定义……这一句话怎么理解
就是极限的定义,ε-d定义
∴任意ε 存在X>A 当x>X时 |f﹙x﹚-A|<ε/4 ∴对任意x₁、x₂∈﹙X,﹢∞﹚ 有|f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|≤|f﹙x₁﹚-A|+|f﹙x₂﹚-A|<ε/2
由康托定理 f﹙x﹚在[a,X]一致连续 因而存在δ<X-a 使|x₁-x₂|<δ,x₁,x₂∈[a,X]时 |f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|<ε/2
从而对任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要|x₁-x₂|<δ 就有|f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|<ε/2+ε/2=ε
∴其一致连续
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