Question

数列极限定义，ε是任意正数，也就是说不一定是正整数，怎么能 总 存在一个正整数N呢？相当困惑

Answer 1

ε是任意正数，不一定是正整数，这点没错。
那么任意取一个ε，总能由此计算出一个数，设为m，当n＞m的时候，那个不等式恒成立。
那么我们总可以找到一个正整数N＞m，你总不至于认为不可能有任何正整数，比m大吧？
那么当n＞N的时候，都满足n＞m，所以不等式恒成立。
这样不就找到一个正整数了？
比方说，由某个ε，计算出来的是5.6不是正整数，那么我们可以取比N为5.6大的正整数，比方说N=6，N=7等等，不就满足要求了吗？
又不是说，要求这个N是符合要求的最小的数。

追问

取正不是取不超过这个数的最大整数吗？5.6取整应该是5呢，为什么N取6.还是没有彻底明白，这个问题我想了好久了……

追答

比方说，计算出当n＞5.6的时候，|an-k|＜ε，我们取整数N是取5？还是6呢？注意啊，是n＞5.6的时候，|an-k|＜ε成立，所以如果N＜5.6，那么就无法保证|an-k|＜ε一定成立。只有当N＞5.6，例如取N=6，N=7等这些正整数的时候，|an-k|＜ε才一定成立啊。
至于取整函数[5.6]，当然等于5，但是我们为什么要让N=5.6的取整函数[5.6]呢？不能等于[5.6]+1；[5.6]+2等这些大于5.6的数吗？难道人们设计取整函数[5.6]，就不能形成[5.6]+1；[5.6]+2这里式子吗？

追问

5.6取整数 是5，n大于5，也满足大于5.6，是不是N取左右都满足呢？

追答

反正，只要满足大于N的正整数，都大于5.6就行了。还有一点，你的所有想不通，主要是有一点没想通，这也是学极限的时候，不由自主的容易犯的错，那就是总想找到那个符合要求的，最小的N。事实上，极限的定义，并不要求N是满足要求的最小的正整数，只要满足要求即可。所以如果我们找到一个正整数u，当n＞u的时候，|an-k|＜ε恒成立。那么当n＞u+1；n＞u+2；n＞2u等等这些情况，都能使得|an-k|＜ε恒成立，所以无论是取N=u，还是取N=u+1；N=u+2；N=2u等等，都是正确的选择，不存在所谓u比u+1；u+2；2u等更合适，更正确的观点。都是一样的正确，一样的合适。
所以无需纠缠到底是取5还是取6，都可以，包括取7，取8，取1万，都是正确的。