Question

求解答两道函数题！ 已知函数fx=sinxsin（x+π/6） （1）求fx的最小正周期

求解答两道函数题！
已知函数fx=sinxsin（x+π/6）
（1）求fx的最小正周期
（2）当x∈［0，π/2］时，求fx取值范围
设函数fx=x2+1/√（1+x），x∈［0,1］，证明
（1）fx≥x/2-1/2乘以x+1
（2）15/16<fx≤（2+√2）/2

Answer 1

f(x)=(1/2)[cos(π/6）-cos(2x+π/6)],
(1)它的周期是π。
(2)x∈[0,π/2],则
u=2x+π/6的值域是[π/6,7π/6],
v=cosu的值域是[-1,√3/2],
∴f(x)=(1/2)(√3/2-v)的值域是[0,(√3+2)/4].

设u=√(x+1),x∈[0,1],则u∈[1,√2],x=u^2-1,
f(x)=[(u^2-1)^2+1]/u=(u^4-2u^2+2)/u,记为g(u),
(1)题意不清
(2)g(u)-15/16=(16u^4-32u^2-15u+32)/(16u)
设h(u)=16u^4-32u^2-15u+32,u∈[1,√2],则
h'(u)=64u^3-64u-15,
h''(u)=192u^2-64>0,
∴h'(u)是增函数，零点唯一。
h'(1.073)≈0.064，h'(1.072)≈-0.157，
h(1.073)=0.271>0,
∴g(u)-15/16>0,
仿上，证明另一半。