Question

高二数学 求解

Answer 1

两边都乘以3得：3a(n)=a(n-1)+2a(n-2)
所以3a(n+2)=a(n+1)+2a(n)
所以3a(n+2)-3a(n+1)=-2a(n+1)+2a(n)
即：3[a(n+2)-a(n+1)]=-2[a(n+1)-a(n)]
所以{a(n+1)-a(n)}为等比数列，公比是-2/3，首项是a2-a1=1
所以a(n+1)-a(n)=(-2/3)^(n-1)
于是得到：a(n)=[a(n)-a(n-1)]+[a(n-1)-a(n-2)]+……+[a(2)-a(1)]+a(1)
=(-2/3)^(n-2)+(-2/3)^(n-3)+……+（-2/3）^0+1
=8/5-（3/5）（-2/3）^(n-1)

Answer 2

使用待定系数法
设an-A*a(n-1)=K*{[a(n-1)]-A*a(n-2)}
A+K=1/3
A*K=-2/3
解出A=1，K=-2/3
或A=-2/3,K=1
那么原式可以化简为
an-a(n-1)=（-2/3）*{[a(n-1)]-a(n-2)}
所以数列an-a(n-1)为等比数列
an-a（n-1）=（a2-a1）*（-2/3）^(n-2)=（-2/3）^(n-2)
a3-a2=（-2/3）*(a2-a1）=-2/3
a4-a3=(-2/3)*(a3-a2)=（-2/3）^2
……
an-a（n-1）=（a2-a1）*（-2/3）^(n-2)=（-2/3）^(n-2)
an-a2=（-2/3）+(-2/3)^2+……+（-2/3）^(n-2)
an=1+1+（-2/3）+(-2/3)^2+……+（-2/3）^(n-2)=1+3/5*[1-(-2/3)^(n-1)]
=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1）
如果或A=-2/3,K=1，通过化简，一样的结果