Question

已知a>0,b>0,求证b^2/a+a^2/b>=a+b

Answer 1

p=b^2/a+a^2/b q=a+b

p-q=b^2/a+a^2/b-(a+b)
=(b^3+a^3-a^2b+ab^2)/ab
=[b^2(b-a)+a^2(a-b)]/ab
=(b-a)(b^2-a^2)/ab
=(b-a)^2(b+a)/ab

(b-a)^2>=0
a=b>0
ab>0
p-q>=0
所以：
b^2/a+a^2/b大于等于a+b
懂了么，不懂我在答一次

Answer 2

a≥b>0时，(a-b)(a^2-b^2)≥0
b≥a>0时，(a-b)(a^2-b^2)≥0
所以(a-b)(a^2-b^2)≥0恒成立
a^3-a^2b-ab^2+b^3≥0
a^3+b^3≥a^2b+ab^2
a^3+b^3≥ab(a+b)
因为a>0,b>0,所以ab>0
不等式两边同时除以ab，不等式符号不变
(a^3+b^3)/ab≥ab(a+b)/ab
a^2/b+b^2/a≥a+b

Answer 3

由于a^2+b^2>=2ab
得到,b^2/a+a=(b^2+a^2)/a>=2b
同样,a^2/b+b>=2a
把上面两式相加得到

Answer 4

b²/a+a²/b-a-b
=(b³+a³-a²b-ab²)/ab
分母大于0

分子=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)
=(a+b)(a²-2ab+b²)
=(a+b)(a-b)²>=0
所以(b³+a³-a²b-ab²)/ab>=0
b²/a+a²/b-a-b>=0
所以b²/a+a²/b>=a+b

Answer 5

b^2/a+a^2/b-(a+b)
=(b^3+a^3-a^2*b-b^2*a)/(a*b)
=[(a+b)(a^2-a*b+b^2)-ab(a+b)]/(a*b)
=(a+b)(a^2-2ab+b^2)/(a*b)
=(a+b)(a-b)^2/(a*b)
>=0

所以b^2/a+a^2/b>=a+b