Question

请教高一数学题

1、命题：“a＋b＝1”是命题：“a的三次方＋b的三次方＋ab-a²-b²=0”的什么条件？
2、“负4小于k小于0”是函数kx²-kx-1的值恒为负值“的什么条件？
3、ax²＋x＋1=0至少有一个正的实根的充要条件是？
希望有详细解答的过程！谢谢了！

Answer 1

1.a³+b³+ab-a²-b²=0整理
(a+b)(a²+b²-ab)+ab-a²-b²=(a+b-1)(a²+b²-ab)=0
显然a+b=1可以推出来后一个命题成立，
后一个命题不能退出来a+b=1,例如a=b=0也可以使后一个命题成立。
∴是充分条件，不是必要条件。

2.kx²-kx-1<0，∴k<0且最大值小于零，即跟x轴无交点，kx²-kx-1=0无解。
(-k)²+4k<0 ∴-4<k<0
所以，前一个命题是后面命题的充要条件。

3. ax²＋x＋1=0
若a=0,x=-1不成立。
a≠0,1-4a≥0,a≤1/4
若0<a≤1/4，设两根为x1,x2，x1+x2=-1/a,x1*x2=1/a显然x1,x2同负号，不成立。
a<0，x1+x2=-1/a,x1*x2=1/a，命题成立。

所以充要条件a<0

Answer 2

1、命题：“a＋b＝1”是命题：“a的三次方＋b的三次方＋ab-a²-b²=0”的什么条件？
a+b=1可以推出“a的三次方＋b的三次方＋ab-a²-b²=0”成立；
但反过来不能推出，故是充分不很必要条件。

2、“负4小于k小于0”是函数kx²-kx-1的值恒为负值“的什么条件？
函数kx²-kx-1的值恒为负值的条件是k<0且k^2+4k<0即-4<k<0
所以充要条件。

3、ax²＋x＋1=0至少有一个正的实根的充要条件是？
首先判断delta=1-4a>0,得a<1/4
韦达定理：x1+x2=-1/a， x1*x2=1/a
a<0时，两根异号，一正一负
a>0时，两根是同号，则两根均为负
所以ax²＋x＋1=0至少有一个正的实根的充要条件是a<0

Answer 3

（1）a的三次方＋b的三次方＋ab-a²-b²=0
等价于(a+b)(a²+b²-ab）-（a²+b²-ab）=0
（a+b-1)(a²+b²-ab）=0
是充分不必要条件
（2）原式等价于k(x-1/2)²-k/4-1
因为其恒为负 所以 k小于0 且-k/4-1小于0即负4小于k小于0
是其充要条件
(3)韦达定理：x1+x2=-1/a， x1*x2=1/a
a<0时，两根异号，一正一负
a>0时，两根是同号，则两根均为负
所以ax²＋x＋1=0至少有一个正的实根的充要条件是a<0

Answer 4

第二题 充要条件
函数化简K(x-0.5)²-K/4-1<0
所以必须同时满足
K<0和K/4+1>0
所以-4<k<0

或者同时满足K>0和（x-0.5)²<1/4+1/k
因为（x-0.5)²恒大于等于0，值域为0到正无穷，所以不会小于一个正值（1/4+1/K)。
所以这个不成立。