Question

高中数学题库问答--关于立体几何

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1的棱长为a,E F 分别是BC,A1 D1的中点。（1）求证：四边形B1EDF为菱形；
（2）求A1C 与 DE所成的角的余弦值

Answer 1

(1)证明：∵E F 分别是BC,A1 D1的中点
∴FD1=FA1=BE=CE=a／2
∵ ABCD-A1 B1 C1 D1是正方体
∴FD=√(a²+（a／2）²=FB1=B1E=DE
∴四边形B1EDF为菱形
(2)解：∵四边形B1EDF为菱形
∴DE‖FB1
延长C1B1到M，使得B1M=a/2。连结MA1、MC
∵ A1F‖＝B1M
∴四边形A1MB1F是平行四边形
∴A1M‖FB1‖DE,A1M=FB1=(√5／2）·a
A1C=√3a，MC=√（MC1²＋C1C²）=(√13／2）·a

cos∠CA1M=（√15）／15 （余弦定理公式）
∴A1C 与 A1M所成的角的余弦值为（√15）／15
∵A1M‖ DE
∴ A1C 与 DE所成的角的余弦值 （√15）／15

Answer 2

(1)证明 做M使M为B1C1中点 连D1M ME
因为F M分别为A1D1 B1C1中点 所以 B1F平行于D1M
又因为ME平行于CC1 CC1平行于DD1
所以四边形DD1ME为平行四边形 D1M平行于DE 又所以FB1平行于DE 四边形FDEB1为平行四边形 又因为四边等 故为菱形
(2)证明 延长AB DE到HJ使3AB=AH DJ=DE 连CH
由平面关系可得DE平行于CH 所以 A1C与DE所称的角 就是A1c与CH所成的角或其补角
由余弦定理的 A1c与CH的余弦值为 （√15）／15