Question

高中数学——立体几何问题

在棱长为2的正方体中放置一个半径为1的球，其内部还可以放置一个半径为r的小球，求r的最大值？

为什么相切最大？还有，相切后，方程为什么是1+（根号3+1）r=根号3？？？

Answer 1

半径为1的球的直径为2，应该内切棱长为2的正方体

大球和正方体的关系图如下： 

从上图可知，留给小球的空间只剩下正方体的8个顶角的位置了，而且都一样大。要想使得小球在立方体内部，又要最大，那就只能与立方体三个面和大球同时相切了。这样的话，小球的球心就应该在长对角线上其长度为2×根号3。

而对角线上已经被大球用去了1+根号3的长度，所以只剩下

2×根号3-（1+根号3）=根号3-1的长度。

而小球占用的对角线的长度类似大球的计算方法，为

r+r×根号3=根号3-1

既你给出的公式r×（1+根号3）=根号3-1

 

应上面的朋友提议，没有去掉辅助线的图形如下：

加入一个小球以后的图形的局部放大图如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

我们也打过好几次交道了，我认为你的要求较高，我估计你也和我一样，我想顺便问一下，你一定不是高中生吧，你的问题非常难回答，今天我做了一个图片送给你，做的不好请指教，也不指望你满意了，交个朋友了。

 

Answer 3

以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得
或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量
（k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量
．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取
，求：
的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：
．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．
首先该图形能建坐标系
如果能建
则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是
1。尽量在土中找到垂直与面的向量
2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z）
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数
然后就求出面的一个法向量了
会求法向量后
1。二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求
2。点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

Answer 4

这个球应该是卡在角上的
设半径为R
大球球心到角距离是根号3
中间夹着小球，画一下图就知道从切点到小球心是R，从小球心到角上就是根号3R
所以方程就是1+（根号3+1）R=根号3

Answer 5

第一问楼上做了，我先做了第二问
证明的主要思想就是利用线面推到线面平行，在推到面面平行，再反推线面平行
具体证法：做DE重点H，连接HF、HG
由H,G为中点得EG平行AE，又有AE‖BC（不解释）
∴EG‖面BCD（跳了一步，以下同）
同理HF‖面BCD
又∵FH∩GE=G，FH和GE∈面FGH
∴面FGH‖面BCD
又∵FG∈面FGH
∴FG平行面BCD