Question

散度旋度怎么理解？高斯公式，斯托克斯定理怎么理解

Answer 1

不需要微分流形，只需要知道外微分形式(也叫微分形式)即可。当然，外微分在微分流行中也是很重要的一个研究方法。
在多元函数中，每个变量(x,y,z,)的一级微分（无穷小量）叫做一级外微分，记做dx,dy,dz.分别代表沿变量方向变化的无穷小量。各级微分形式都可以线性相加，各自形成一个线性空间。一级微分形成的空间就是切向量空间。高一级的微分形式由低一级的微分形式与一级微分形式做外乘得到。外乘又叫楔积,记为^。满足线性和反交换性。之所以要定义线性和反交换的乘积是由平行多面体的体积与各边的关系来的。平行多面体的体积对各边的依赖关系满足线性和反交换性（有向体积等于边长向量矩阵的行列式）。因此，每一级的外微分都相当于对应维数下的某种微小体积（1维是长度，2维是面积）。

以下空间的维数记为n,外微分的级数记为m
有了外微分的概念，与任何微小体积有关的量就容易定义了。散度是流从某微小的封闭边界流出的度量。边界的维数是n-1,因此散度相当于对一个m=n-1维的微分形式做外微分得到m=n的外微分。散度的单位带有体积的倒数。流本身是向量，本来只是一级外微分对时间的导数。要由一级外微分转化为m=n-1的外微分，需要定义一个共轭变换。常用*号表示。因此散度为d^(*v)/dt
同理，根据旋度是旋涡的量度，旋涡是一种二维的结构，因此旋度就是速度的外导数。只是在三维情况下，m=2才和m=1的外微分有共轭关系，可以看成向量。
张量就是比向量多更多的下标而已。