Question

求大神帮解一道高代题，谢谢！！

Answer 1

Answer 2

D1=α+β，D2=(α+β)^2-αβ，
Dn=(α+β)D<n-1>-αβD<n-2>,
其特征方程是x^2-(α+β)x+αβ=0，特征根是α，β，
已知α≠β，
∴Dn=pα^n+qβ^n,
把D1,D2代入，得α+β=pα+qβ，(α+β)^2-αβ=pα^2+qβ^2,
解得p=α/(α-β),q=-β/(α-β),
∴Dn=[α^(n+1)-β^(n+1)]/(α-β).

Answer 3

先将Dn按第一列展开：
Dn=(α+β)D(n-1)-αβD(n-2)
然后，这是个线性差分数列。特征方程的根为α和β。在α不等于β的情况下，数列通项公式：
Dn=k*α^n+m*β^n
式中k和m是待定常数。
计算D2=α^2+αβ+β^2, D3=(α+β)(α^2+β^2) ，得到:
k=α/(α-β) m=-β/(α-β)
综上，Dn=(α^(n+1)-β^(n+1))/(α-β)

Answer 4

这种《三对角》型行列式常用的方法是推出《递推公式》。
Dn=(a+b)D(n-1)-abD(n-2) 【按r1展开，然后后一个按c1展开】
=> Dn-bD(n-1)=a(D(n-1)-bD(n-2))=递推=[a^(n-2)]*(D2-bD1)
=[a^(n-2)]*[(a+b)^2-ab-b(a+b)]=a^n
=> Dn=a^n+b*D(n-1)=递推=a^n+ba^(n-1)+...+b^(n-1)a+b^n