Question

证明：当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小。

Answer 1

lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)

=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]

由两个重要极限知:lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e；

所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等价无穷小

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小的定义

（C为常数），就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，C=1且n=1，即

 ，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。