Question

一道初一升初二的几何

如图，P是角MON的平分线上的一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，求证OP垂直平分AB
还有一道
如图、一直四边形ABCD中、AB=AD，∠ABC=∠ADC
求证
AC⊥BD

Answer 1

证明：连接A、B交PO于C；
因为PO平分∠MON，
所以∠AOP=∠BOP；
又因为PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，
所以∠OAP=∠OBP；
ΔPAO全等于ΔPBO（AAS）；
所以∠APO=∠BPO，AP=BP；
又PC为公共边，
所以ΔPAC全等于ΔPBC（SAS）；
推出AC=BC，（1）
OC为公共边，AO=BO；
所以ΔAOC全等于ΔBOC（SSS）；
又可推出∠OCA=∠OCB=90度；（2）
由（1）和（2）可知：OP垂直平分AB 。
证毕
补充问题与上题证明相似
根据边边角证明三角形ABC与三角形ADC相似
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Answer 2

你的图画的很不标准哦~~
因为PA⊥OM，PB⊥ON
所以∠PAO=PBO=90°
因为OP平分∠MON
所以∠AOP=BOP=1／2∠AOB
所以PA=PB(角平分线上的点到角的两边距离相等)
所以△OAP≌△OBP(AAS)
（注：设AB与OP的交点为C）
所以∠APO=∠BPO
因为OA=OB ∠APO=∠BPO CO=CO
所以△AOC≌△AOB(SAS)
所以AC=BC
所以∠ACP=∠BCP
又因为∠ACP+∠BCP=180°
所以1/2∠ACP+∠BCP=1/2 180°=90°
所以OP⊥AB
所以
OP垂直平分AB

Answer 3

原题：∵OP是角平分线
∴∠AOP=∠POB （1）
又∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO=∠POB=90°
∴∠APO=∠BPO （2）
又∵OP为公共边
根据全等三角形判定条件“角边角”得到：△AOP与△BOP全等
∴AO=BO
又∵OP为角分线
∴OP⊥AB
补充：∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
又∵∠ABC=∠ADC
∴∠CBD=∠CDB
∴BC=DC
又∵AC是公共边
根据全等三角形判定条件“边边边”得到：△ABC与△ADC全等
∴∠BAC=∠DAC
∵AB=AD
∴等腰三角形顶角角分线也是高线，可知，AC⊥BD

Answer 4

因为op是角平分线
又因为PA⊥OM，PB⊥ON
所以0a=0b
所以OP垂直平分AB（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）