已知x^2/(1+x^2)=y, y^2/(1+y^2)=z, z^2/(1+z^2)=x,求x、y、z.
1个回答
展开全部
解：若x=0，则y=0，z=0原题中三个式子都成立
若x≠0，则y≠0，z≠0，三个式子分别取倒数得
1/y=(x^2+1)/x^2=1+1/(x^2)
1/z=(y^2+1)/y^2=1+1/(y^2)
1/x=(z^2+1)/z^2=1+1/(z^2)
令1/x=a，1/y=b，1/z=c
则有1+a^2=b ①
1+b^2=c ②
1+c^2=a ③
把①代入②得c=1+(1+a^2)^2=a^4+2a^2+2 ④
把④代入③得a=1+(a^4+2a^2+2)^2
a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5=0(*)
当a<5时，-a+5>-5+5>0
而a^8+4a^6+8a^4+8a^2≥0
所以a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5>0，方程*无实数解
当a≥5时，a^8+4a^6+8a^4+5≥458130>0
而8a^2-a=a(8a-1)≥5*39=195>0
所以a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5>0，方程*无实数解
所以当xyz≠0时，方程无实数解
所以x=y=z=0
若x≠0，则y≠0，z≠0，三个式子分别取倒数得
1/y=(x^2+1)/x^2=1+1/(x^2)
1/z=(y^2+1)/y^2=1+1/(y^2)
1/x=(z^2+1)/z^2=1+1/(z^2)
令1/x=a，1/y=b，1/z=c
则有1+a^2=b ①
1+b^2=c ②
1+c^2=a ③
把①代入②得c=1+(1+a^2)^2=a^4+2a^2+2 ④
把④代入③得a=1+(a^4+2a^2+2)^2
a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5=0(*)
当a<5时，-a+5>-5+5>0
而a^8+4a^6+8a^4+8a^2≥0
所以a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5>0，方程*无实数解
当a≥5时，a^8+4a^6+8a^4+5≥458130>0
而8a^2-a=a(8a-1)≥5*39=195>0
所以a^8+4a^6+8a^4+8a^2-a+5>0，方程*无实数解
所以当xyz≠0时，方程无实数解
所以x=y=z=0
本回答由网友推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
