Question

高数，高阶线性微分方程

高数，高阶线性微分方程如图

Answer 1

验证， 代入验证即可。
通解：y = Ax^5 + B/x - (1/9) x^2 lnx

追问

能不能详细点，谢谢

追答

对于 y = x^5, 得 y' = 5x^4, y'' = 20x^3,
则 x^2y'' - 3xy' - 5y = 20x^5 - 15x^5 - 5x^5 = 0
则 y1 = x^5 是 微分方程 x^2y'' - 3xy' - 5y = 0 的解；
对于 y = 1/x , 得 y' = -1/x^2, y'' = 2/x^3,
则 x^2y'' - 3xy' - 5y = 2/x + 3/x - 5/x = 0
则 y2 = 1/x 是 微分方程 x^2y'' - 3xy' - 5y = 0 的解；
对于 y = -(1/9)x^2lnx , 得 y' = -(1/9)(2xlnx+x), y'' = -(1/9)(2lnx+3),
则 x^2y'' - 3xy' - 5y
= -(1/9)(2x^2lnx+3x^2) + (1/9)(6x^2lnx+3x^2) + (1/9)5x^2lnx = x^2lnx
则 y3 = -(1/9)x^2lnx 是 微分方程 x^2y'' - 3xy' - 5y = x^2lnx 的解.
根据线性微分方程解的结构得，微分方程 x^2y'' - 3xy' - 5y = x^2lnx 的通解是
y = Ax^5 + B/x - (1/9) x^2 lnx