Question

已知函数f(x)=log（2） 【(x+2a+1)/(x-3a+1)】

1.求函数的定义域
2.若函数的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性
3.在2的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程F^-1(x)=5k*2^x-5k有解，求k的取值范围

Answer 1

f(x)=log（2） 【(x+2a+1)/(x-3a+1)】

要使函数有意义，则(x+2a+1)/(x-3a+1）>0
当a>=0时，3a-1>=-2a-1,所以 x>3a-1或x<-2a-1
当a<0时，3a-1<-2a-1,所以x<3a-1或x>-2a-1
1、函数的定义域为（-∞，-2a-1）U（3a-1，+∞）a>=0
（-∞，3a-1）U（-2a-1，+∞）a<0

2、函数的定义域关于坐标原点对称
则f（x）=-f（-x）
所以(x+2a+1)/(x-3a+1)=〔（-x+2a+1)/(-x-3a+1）〕^(-1) (去对数log2）
x^2-(2a+1)^2=x^2-(3a-1)^2,
化简，a=2（a=0时是一个点f（x）=0，所以不取）
所以原函数为f（x）=log（2）〔（x+5）/（x-5）〕
f（-x）=log（2）〔（-x+5）/（-x-5）〕
=log（2）〔（x-5）/（x+5）〕
=-log（2）〔（x+5）/（x-5）〕=-f（x）
所以此函数为奇函数。
（-∞，-5）为单调递减区间
（5，+∞）为单调递减区间

3、f^-1（x）=10/（2^x-1)+5=5k*2^x-5k
化简，k*2^(2x)-(2k+1)*2^x+k-1=0
delta=（2k+1）^2-4*k*(k-1)=8k+1>=0
即k>=-1/8
因为2^x>0且2^x≠1
x1x2<0,说明一正一负，有解，则（k-1）/k<0,得0<k<1
x1x2>0且x1+x2>0,说明两正的，有解。
则（k-1）/k>0
且（2k+1）/k>0,解方程组得k>1(k<-1/2与delta结合后无解了）
故满足要求的k的取值范围是（0，1）u（1，+∞）