Question

几道关于等比数列和等差数列的题。

1.有4个数，其中前3个成等差数列，后3个成等比数列，并且第1个数与第4个数的和为8，第2个数与第3个数的和为4，求这4个数。
2.a，b，c成等比数列，试证a2+b2，ab+bc，b2+c2也成等比数列。
3.设等比数列{an}的公比为q（q＞0），它的前n项和为40且在前n项中数值最大的项为27，前2n项的和为3280，求此数列的第2n项。

Answer 1

设这四个数为
a,b,c,d
则
a+c=2b
c^2=bd
a+d=8
b+c=4
→a=-1
b=1
c=3
d=9(留下c,消去a,b,d)
2.由题
只需证
(ab+bc)^2=(a^2+b^2)(b^2+c^2)--①
即可
①式即
a^2b^2+b^2c^2+2acb^2=a^2b^2+a^2c^2+b^4+b^2c^2
化简即
2acb^2=a^2c^2+b^4
代入b^2=ac得
2a^2c^2=2a^2c^2
显然成立，故原命题成立。
3.Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=40
S2n=a1(1-q^n)(1+q^n)/(1-q)=3280
→q^n=81
是an(q＞0)
∴a1q^(n-1)=27
代入得
a2n=a1q^(2n-1)=a1q^(n-1)*q^n
=27*81
=3^7