Question

在三角形ABC中，sinA=sinB+sinC/cosB+cosC,试判断三角形的形状

要求一定要有具体步骤

Answer 1

.在三角形ABC中，若sinA＝(sinB+sinC)/(cosB+cosC)，

判断三角形ABC的形状。

解：：∵sinA＝(sinB+sinC)/(cosB+cosC) ∴sinA- (sinB+sinC)/(cosB+cosC) ＝0

∴sinA- 2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]/ 2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]＝0

∴sinA- sin[(B+C)/2] / cos[(B+C)/2]＝0

∴2sin(A/2)cos(A/2)- cos(A/2) / sin(A/2)＝0，又∵cos(A/2)≠0

∴2sin(A/2) - 1 / sin(A/2)＝0

∴2sin2 (A/2) - 1＝0 ∴2sin2 (A/2)＝1 ∵sin(A/2)＞0

∴sin(A/2)＝√2/2，则A/2＝π/4

∴A＝π/2，即：三角形ABC为以A为直角顶点的直角三角形。

方法二:

由余弦定理和正弦定理:
sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC
==>a/R[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+b^2-c^2/2ab)]=b/R+c/R
==>(a^2+c^2-b^2)/2c+(a^2+b^2-c^2/2b)=b+c
==>b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2bc(b+c)
==>ba^2-bc^2-b^3+ca^2-cb^2-c^3=0
==>(ba^2+ca^2)-(bc^2+c^3)-(b^3-cb^2)=0
==>a^2(b+c)-c^2(b+c)-b^2(b+c)=0
==>(b+c)(a^2-c^2-b^2)=0
==>a^2=c^2+b^2
所以，三角形是直角三角形。

Answer 2

sinA[2*cos(B+C)/2*cos(B-C)/2]=2*sin(B+C)/2*cos(B-C)/2 (和差化积)
sinA*sin(A/2)=cos(A/2)
2sin(A/2)*cos(A/2)*sin(A/2)=cos(A/2)
[sin(A/2)]^2=1/2
sin(A/2)=√2/2
A/2=45度
A=90度
直角三角形.