Question

高等代数中关于线性变换的这个定理如何证明？

Answer 1

所谓两个空间的同构，是指两个空间间存在一个同构映射。
即存在一个映射，满足：
1、这个映射是双射；
2、保持加法；
3、保持数乘。
对于这个问题可以做如下证明：
取定空间V的一组基，将空间V的每一个线性变换与其在该基下的矩阵建立对应。则这个对应就是一个同构映射。事实上，
1、空间V中的每一个线性变换与在该基下的矩阵的对应是一个双射(一一对应）
2、线性变换的和对应着矩阵的和。
3、数与线性变换的乘积对应着数与矩阵的乘积。
故这两个空间是同构的。