Question

求不定积分做题模板归纳（除不定积分外）。

什么样的题适合用换元，什么样的题用因式分解，什么样的题用三角代换。

Answer 1

其实就是要把积分化到你所学到的能积的样子

三角代换的就是法则上的那些啊
被积函数涉及（a^2-x^2）^0.5（其中a大于0及-a小于或等于x小于或等于a时）
设x=asin@（其中-丌/2小于或等于@小于或等于丌/2），可得（a^2-x^2）^0.5=acos@
被积函数涉及（a^2+x^2）^0.5（其中a大于0时）
设x=atan@（其中-丌/2小于@小于丌/2），可得（a^2+x^2）^0.5=asec@
被积函数涉及（x^2-a^2）^0.5（其中a大于0和x小于或等于a时）
设x=asec@（其中0小于或等于@小于丌/2），可得到（x^-a^2）^0.5=atan@
代还就是u=g（x）是x的可微函数，则∫f（g（x））g'（x）dx=∫f（u）du。
通俗给例子比如求个∫（x+3）^5。可以用二项式定理去求多项式然后一项一项求积分，但这样肯定花很多时间，而且次数越大越难求，所以你要用积分代还，
设u=x+3，du=（x+3）=dx
∫（x+3）^5dx=∫u^5du=（u^6/6）+C=（（x+3）^6/6）+C
又或者对某函数求导后能调换出d（u）正好能消除两个函数相除的局面
，因为积分没有积法则和商法则。例如设=Inx，则du=d（Inx）=（1/x）dx
∫（Inx/x）dx=∫Inx（1/x)dx=∫udu=1/2（u^2）+C=1/2（Inx）^2+C
另外，三角函数形式
有4种情况
第一，∫sin^m（x）cos^n（x）dx，其中m是奇数。代换u=cosx,即sinxdx=-d（cosx）
第二，∫sin^m（x）cos^n（x）dx,其中n是奇数。代换u=sinx,即cosxdx=d（sinx）
第三,∫sin^m（x）cos^n（x）dx，其中m和n都是偶数，就利用二倍角公式缩减正弦和余弦的次幂。
第四,m和n都是奇数，则利用第一和第二种情况都可以，只不过答案会差一个常数
其余的就是这几个可以记一记u=tanx，d（tanx）=sec^2(x)dx
u=secx,d（secx）=secxtanxdx
u=cotx，d（cotx）=-cosec^2xdx
u=cosecx，d（cosecx）=-cosecxcotxdx
因式分解不是很清楚，我是没人回答我就回答了，我只是个高中生，不好意思，尽量说说而已。

追问

嗯嗯，才发现我问题答错了，本来是准备问除分部积分外，结果打成了不定积分。

如果分子或者分母涉及三角函数加减，除了用泰勒展开和万能代换还有其他的好办法没有。