Question

|ax²+x|＜1 对于区间[-1，1]恒成立 求a的取值范围

Answer 1

先分析a是否能为0
根据题意
不能
那么
去掉绝对值符号可得
-1＜ax^2+x＜1在区间【-1，1】上恒成立
设f(x)=ax^2+x
其对称轴为x=-1/2a 当a＞0时 若
-1＞-1/2a
，则f(x)在【-1，1】上
是单调递增的
此时根据题意可得
a-1＞-1
a+1＜1 此时
无解
；若-1＜-1/2a＜1
因为f(-1)=a-1
f(1)=a+1
所以
f(-1)＜f(1)恒成立
那么此时根据题意
得f(-1/2a)＞-1
f(1)＜1
由此可得
-1/4a＞-1
a+1＜1
无解
由以上分析可知a＞0时
无解因为a+1不可能＜1.

当a＜0时
若-1＜-1/2a＜1
因为f(-1)=a-1
f(1)=a+1
所以
f(-1)＜f(1)恒成立
那么此时根据题意
得f(-1/2a)＜1
f(1)＞-1 由此可得4a+1＜0
a＞-2
a＜-1/2
此时解得-2＜a＜-1/2
若-1/2a＞1
则f(x)在【-1，1】上
是单调递增的
此时根据题意可得
a-1＞-1
a+1＜1
此时
无解.

综上所述
a的取值范围是-2＜a＜-1/2