Question

求解释一下大学微积分 函数保号性证明的意思，举个例题来讲一讲，那个a/2什么的没看懂

Answer 1

⑴ 首先，你所问的应该是函数极限的保号性而不是函数的保号性，若要简称也是极限保号性而非函数保号性。
⑵ 有关极限保号性定理，通常的叙述如下：
若lim(x⥤x0) f(x)＝A＞0，则存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，f(x)＞0.
⑶ 要证明这个定理，只要证明满足上述条件的δ是存在的就行了，而可以利用的条件只有那个极限等式。所以就要从
lim(x⥤x0) f(x)＝A ①
入手。
根据极限定义，①的含义是：对于任意给定的ε＞0，总存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有
|f(x)-A|＜ε即
A-ε＜f(x)＜A+ε ②
从②左半部分可知，要使f(x)＞0，只要A-ε＞0即ε＜A即可。既然这样，当然可以取ε＝A/2（或者ε＝A/3、A/4、2A/3等等都可以）
以上都只是分析证明定理的过程，把上述分析真正落实到写出证明过程，就是很简单的事情了。
⑷ 证明：
对于ε0＝A/2＞0，由于lim(x⥤x0) f(x)＝A，所以存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有
|f(x)-A|＜ε0，即A-ε0＜f(x)＜A+ε0.
从而，当0＜|x-x0|＜δ时，有
f(x)＞A-ε0＝A-A/2＝A/2＞0.