Question

线性代数，矩阵A的秩与矩阵（λE－A）的秩一定相等吗？为啥子？

Answer 1

一个n×n的矩阵的特征矩阵λE-A的秩一定是n这种说法是不对的.，一个n×n的矩阵的特征矩阵λE-A的秩一定小于n。理由如下图所示:

Answer 2

❶ 齐次方程为 (A－λE)Ⅹ＝0，要使X有非0解，必有特征行列式 |A－λE丨＝0，设三次方程解出三个特征值。齐次方程组系数矩阵秩R(A－λE)<3，是对各个特征值代入方程后所构成的方程组而言的，含义是独立未知量个数<3。因为一个特征值至少对应一个特征向量，而一个特征向量对应一个自由未知量，所以独立未知量＝秩R ＝ n－1。 假设秩＝3，那么就有三个独立未知量，没有自由未知量了，没有解空间基向量了，导致齐次方程组 系数矩阵秩＝增广矩阵秩，齐次方程组有唯一解，即只有0解。与题设非0解丨A－λE丨＝0 相矛盾。❷ 另一种思路。行列式丨A－λE丨＝0，根据行列式性质必有一列元素全为0，对应的矩阵必有一列向量＝0，所以矩阵秩 R(A－λE) < n。