Question

求矩阵A与A*的秩的关系中，为什么A的n

Answer 1

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：
r(A*) = n, 若r(A)=n
r(A*)=1, 若r(A)=n-1；
r(A*)=0，若r(A)<n-1;
证明如下所示：
若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；
若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;
若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.