Question

求微分方程y''+4y=（sin2x+cos2x）e^2x的通解

Answer 1

解：∵微分方程为y"+4y=(sin2x+cos2x)
e^2x
∴设方程的特征值为t，特征方程为
t²+4=0，得：t=±2，特征根为
sin2x、cos2x
∵方程的右式为(sin2x+cos2x)e^2x
∴设方程特解为(asin2x+bcos2x)e^2x
有y'=2(asin2x+bcos2x)e^2x+
2(acos2x-bsin2x)e^2x=
[2(a-b)sin2x+2(a+b)cos2x]e^2x，
y"=4[(a-b)sin2x+(a+b)cos2x]e^2x+
4[(a-b)cos2x-(a+b)sin2x]e^2x=
(8acos2x-8bsin2x)e^2x
∴有(8acos2x-8bsin2x)e^2x+
4(asin2x+bcos2x)e^2x=
(sin2x+cos2x)e^2x，
得：4a-8b=1，8a+4b=1；
a=-3b，b=-0.05，a=0.15
∴方程的通解为y=Asin2x+Bcos2x+
(0.15sin2x-0.05cos2x)e^2x
(A、B为任意常数)

Answer 2

齐次特征方程：
r²十4=0
特征根，r=±2i
齐次方程的通解：
y=C1cos2x十C2sin2x
然后用变常数法，把C1,C2也看成x的函数，求原方程的解。

Answer 3