Question

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角120°

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角120°,点C在以O为圆心的
圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，求x+y的最大值

Answer 1

过C分别作OA，OB的平行线CB',CA'交CB，CA于B',A'
设∠COA=α，由正弦定理：
x=OA'=sin(120°-√)/sin60°=sinα/√5+cosα
y=OB'=sinα/sin60°=2sinsin60°/√3
所以x+y=√3sinα+cosα=2sin(α+30°)≤2
即得x+y的最大值为2

Answer 2

易知向量OC满足
|OC|=1
即
(xOA+yOB)^2=1
拆开
x^2|OA|^2+y^2|OB|^2+2xy|OA||OB|cos120°
=x^2+y^2-xy
=(x+y)^2-3xy
=1
而由xy≤[(x+y)/2]^2成立
得到
1≥(x+y)^2-3*0.25(x+y)^2
=0.25(x+y)^2
于是
x+y≤2
∴其最大值为2
也可以用坐标系来处理