Question

一道多元函数的题？

网上的解答说这个题的B选项就算是把法向量改成（3，1，-1）还是不对，说是仅有偏导存在不能推出法向量存在，想问一下这句话是怎么来理解啊。

Answer 1

函数在一点偏导数存在都保证不了函数在该点连续，教材上有这样的例子。所以只有偏导数存在不能保证切平面存在，因此法向量就无从谈起。因为连续性都保证不了，所以可微分性也保证不了。
对x的偏导数存在能保证z=f(x,y),y=0这条空间曲线在(0,0,f(0,0))有切线，因此有切向量。
对y的偏导数存在能保证z=f(x,y),x=0这条空间曲线在(0,0,f(0,0))有切线，因此有切向量。
这道题所给的四个选项中，其实只有C,D是可能的选项，

Answer 2

函数在一点偏导数存在都保证不了函数在该点连续，教材上有这样的例子。所以只有偏导数存在不能保证切平面存在，因此法向量就无从谈起。因为连续性都保证不了，所以可微分性也保证不了。 函数在一点偏导数存在都保证不了函数在该点连续，教材上有这样的例子。所以只有偏导数存在不能保证切平面存在，因此法向量就无从谈起。因为连续性都保证不了，所以可微分性也保证不了。