Question

25. 求下列平面图形分别绕x轴，y轴旋转产生的旋转体的体积：

Answer 1

求出交点坐标为（0，0），（1，1）
先求y=x²绕y轴旋转的表面积：=2*π∫√y*√(1+1/4y)dy(y从0到1）
=2*π*2/3*(y+1/4)(y从0到1）=4π/3
再求x=y²绕y轴旋转的表面积：=2*π∫y^2*√(1+4y^2)dy(y从0到1）
=2*π*∫2y^2*√(1/4+y^2)dy(y从0到1）
=4*π*∫y^2*√(1/4+y^2)dy(y从0到1）
=4*π*[y/8*(2y^2+1/4)*√(1/4+y^2)-1/8*(1/4)^4*ln(y+√(1/4+y^2)](y从0到1）
=4*π*[1/8*(2+1/4)*√(1/4+1)-1/8*(1/4)^4*ln(1+√(1/4+1)+1/8*(1/4)^4*ln(1/2)]
=4*π*[1/8*(9/4)*√5/2-1/8*(1/4)^4*ln(1+√5/2)-1/8*(1/4)^4*ln(2)]
=π/2*[(9/8)*√5-(1/4)^4*(ln(1+√5/2)+ln(2))]
=π/2*[9/8*√5-1/256*ln(2+√5)]
=π*[9/16*√5-1/512*ln(2+√5)]=9π/16*√5-π/512*ln(2+√5)
两部分相加得总面积=4π/3+9π/16*√5-π/512*ln(2+√5)