Question

已知m，n是正整数，且1<m<n

已知m，n是正整数，且1<m<n
求证：(1+m)^n>(1+n)^m

Answer 1

要证(1+m)^n>(1+n)^m
即证(1+m)n>(1+n)m
即证(1+m)/m>(1+n)/n
构造函数f(x)=ln(1+x)/x
则f'(x)=x/(x+1)-1n(x+1)<0
所以f(x)单调减函数，而m<n
所以ln(1+m)/m>ln(1+n)/n
得证！