Question

抛物线问题解答

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

请问，你学了导数吗？
如果还没有学导数的话，则有以下解法：
解：设抛物线y=x^2上任意一点为P(m,m^2)，所求的距离为d，
则过P(m,m^2)且与与直线y=2x-4平行的直线l为y-m^2=2(x-m)
即2x-y+(m^2-2m)=0
因为直线y=2x-4即2x-y+4=0
所以，由平行线间的距离公式，得
d=∣m^2-2m+4∣÷根号5
且m^2-2m+4=(m-1)^2+3>0
所以，d=[(m-1)^2+3]÷根号5
所以，d=5分之[(m-1)^2+3]根号5
所以，
当m=1时，P的坐标为(1,1)，
d有最小值，此时最小值=5分之3根号5
如果学了导数的话，则有以下解法：
解：所求的“抛物线y=x^2上到直线y=2x-4的距离最小的点的坐标”，实际上就是先作出与直线y=2x-4平行的，且与抛物线y=x^2相切的直线l，然后求出该切点的坐标。
设这个切点P的坐标为P(m,m^2)，所求的距离为d
则由求导法则，得
抛物线y=x^2的导数y’=2x
当x=m时，y’=2m
且直线l与直线y=2x-4平行
所以，2m=2
所以，m=1
所以，P的坐标为(1,1)
所以，由点到直线的距离公式，得
d=5分之3根号5，即为所求的最小距离。

Answer 3

抛物线方程和直线方程没有公共解，可知直线在抛物线外，没有交点。要求距离最小的点，应当是在抛物线上与直线平行的切线，切点就是与直线距离最小的点；
y=x^2的微分方程是y'=2x，直线y=2x-4的斜率是2，与之平行的切线必然斜率相等，即当y'=2时，此点的切线与直线平行，得出x=1;代入抛物线方程，得y=2于是，所求点的坐标是（1，2)；
此点到直线y=2x-4的距离是：求y=2x-4与y-2=-2(x-i=1)二方程的公共解，x=2.5,y=1.
点（2.5，1）与点（1，2）亮点的就离就是原题所求的最小距离，等于二分之根5

Answer 4

依题意得，设直线L的方程为y=2x+m,则联立直线方程和抛物线得，x^2-2x-m=0,若要使直线L和其相切，则方程的判别式为4+4m=0,即m=-1,因此直线L为y=2x-1,因为它和直线y=2x-4的距离为3/根号5，故抛物线y=x^2上到直线y=2x-4的最小距离为3/根号5，此时该点的坐标为（1,1)