Question

一道数学几何题

Answer 1

证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABE=∠ECD=90°
∵AB=CE，CD=BE
∴△ABE和△ECD全等
∴∠AEB=∠EDC
∵∠EDC+∠DEC=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
∴∠AED=90°
（2).△BCN是等腰直角三角形。证明如下：
由（1）知，AE=ED,∠AED=90°
∴△AED是等腰直角三角形
∵EN平分∠AED
∴∠NAE=∠AEN=∠NED=45°，
∠ENA=90°
∴AN=EN
∵AB=EC
∴△NAB全等于△NEC
∴NB=NC,∠ANB=∠ENC
∵∠ANB+∠BNE=∠ANE=90°
∴∠BNE+∠ENC=∠BNC=90°
即△BCN是等腰直角三角形
（3），在（2）条件下同理可证△BNE和△CND全等
所以S△BNC=S四边形ABCD/2

Answer 2

证明:：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABE=∠ECD=90°
∵AB=CE，CD=BE
∴△ABE≌△ECD
∴AE=DE
∠BAE=∠CED
又∠BAE+∠AEB=90°
∴∠CED
+∠AEB=90
故∠AED=90°
（2）由（1）可知△AED是等腰直角三角形
∵EN平分∠AED
∴N为斜边AD中点且EN⊥AD
∴AN=EN=DN
∠NAE=∠AEN=∠NED=45°
∠NAB=∠NAE+
∠BAE=∠NED+∠CED
=∠NEC
∴△NAB≌△NEC
∴NB=NC
∠BNA=∠CNE
故∠BNC=∠BNE+∠CNE=∠BNE+∠BNA=90°
即△BCN是等腰直角三角形
（3）∵CD=BE
NC=NB
ND=NE
∴△DCN≌△EBN
S△NBC=S△CNE+S△EBN=S△NAB+S△DCN=（1/2）S四边形ABCD
即△MBC的面积是四边形ABCD的面积的－半

Answer 3

解：把三角形ABE围绕B点顺时针旋转90度至三角形CBE’
易得角EBF=角E’BF=45度，BE=BE’，BF=BF
所以三角形EBF全等于三角形E’BF
所以EF=E’F
所以C三角形DEF=DE
DF
EF=DE
DF
E’F=DE
DF
CF
AE=AD
CD=2
答：三角形DFE的周长是2

Answer 4

(1)证明:EF∥BD，所以∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF
因为CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠OCE
因为CF平分∠ACD，所以∠DCF=∠OCF
因此∠OEC=∠OCE，OE=OC;∠OFC=∠OCF，OF=OC
所以OE=OF
(2)当O运动到AC中点时，四边形为矩形
证明:
由(1)结论有OE=OF
O为AC中点，OA=OC
四边形对角线互相平分，为平行四边形
CE、CF分别为∠ACB和∠ACD平分线
所以∠OCE=∠ACB/2，∠OCF=∠ACD/2
∠OCE+∠OCF=(∠ACB+∠ACD)/2=90
平行四边形AECF有一个内角为直角，所以为矩形
(3)由(2)得，四边形AECF为矩形
因此只要对角线AC⊥EF即为正方形
且EF∥BC，因此AC⊥BC
△ABC为直角三角形
因为在(3)的条件下AECF为正方形，是一种特殊的菱形
所以AECF可以是菱形

Answer 5

因为AB⊥BC，CD⊥BC
所以∠ABE=∠ECD=90°
因为AB=CE，CD=BE
所以△ABE和△ECD全等
所以∠CED+∠AEC=90°
因为三角形内角和是180°所以∠AED=90°