Question

已知某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

Answer 1

某二阶线性非齐次微分方程的三个解:
y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x
那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特征根，二阶线性齐次微分方程为：y''-y'-2y=0
设y''-y'-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：
f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x
所求非齐次微分方程：y''-y'-2y=e^x-2xe^x

Answer 2

从三个解可以看出(始终不变的是sinx)
方程的通解为
y=c1·e^x+c2·e^(2x)+sinx
由此可知，
特征方程有两个根为
r1=1，r2=2
所以，特征方程为
r²-3r+2=0
所以，对应齐次方程为
y''-3y'+2y=0
设原方程为
y''-3y'+2y=f(x)
特解
y*=sinx
满足此方程，
把特解代入可得
f(x)=sinx-3cosx
所以，原方程为
y''-3y'+2y=sinx-3cosx