Question

1.设f(x)在负无穷到正无穷上连续且f(-x)=f(x)

1.设f(x)在负无穷到正无穷上连续且f(-x)=f(x) 若F(x)=(x-2t)f(x)在（0，x)上的定积分 求证F（-x)=F(x) 2.设函数f(x)在闭区间[0,1]连续且单调递增，证明不等式 xf(x)在（0，1）上的定积分≥二分之一乘以{f(x)在（0.1）上的定积分} 谢谢

Answer 1

1.
f(-x)=f(x)--->f(x)是R上偶函数。
F(x)=∫(0,x)
(x-2t)f(t)dt
F(-x)=∫(0,-x)
(-x-2t)f(t)dt,
在上面积分中，设s=-t,
那么因为f(-s)=f(s),
t=0,s=0;t=-x,
s=x.所以
F(-x)=∫(0,x)
(-x+2s)f(-s)(-ds))=∫(0,x)
(x-2s)f(s)ds=F(x).
2.
∫(0,1)
xf(x)dx
-(1/2)∫(0,1)
f(x)dx
=∫(0,1)
(x-1/2)f(x)dx
=∫(0,1/2)
(x-1/2)f(x)dx+∫(1/2,1)
(x-1/2)f(x)dx
在区间[0，1/2]上，
x-/2<0,
f(x)单调增加，所以f(x)<=f(1/2),
所以(x-1/2)f(x)>=(x-1/2)f(1/2);
在区间[1/2，1]上，
x-/2>0,
f(x)单调增加，所以f(x)>=f(1/2),
所以(x-1/2)f(x)>=(x-1/2)f(1/2).
因此∫(0,1)
xf(x)dx
-(1/2)∫(0,1)
f(x)dx
=∫(0,1/2)
(x-1/2)f(x)dx+∫(1/2,1)
(x-1/2)f(x)dx
>=∫(0,1/2)
(x-1/2)f(1/2)dx+∫(1/2,1)
(x-1/2)f(1/2)dx=0。
证毕。