Question

高中立体几何

如图，已知斜三棱锥 的底面是直角三角形， ，侧棱与底面所成角为 ，点B1在底面上的射影D落在BC边上。
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）当 为何值时，AB1⊥BC1，且使D点恰为BC的中点？并说明理由；
（Ⅲ）当AB1⊥BC1，且D为BC中点时，若BC=2，四棱锥 的体积为 ，求二面角 的大小。

如图， 垂直于直角梯形 所在平面， = ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）在线段 上是否存在点 ，使直线 与 所成
角大小为 ？如果存在，求出点 的位置；如果不存在，说明理由．
已知斜三棱锥ABC-A1B1C1 的底面是直角三角形， 角ACB=90° ，侧棱与底面所成角为a ，点B1在底面上的射影D落在BC边上。
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C
Ⅱ）当a 为何值时，AB1⊥BC1，且使D点恰为BC的中点？并说明理由
Ⅲ）当AB1⊥BC1，且D为BC中点时，若BC=2，四棱锥A-BB1CC1 的体积为3分之2倍的根号3 ，求二面角A-B1C1-C 的大小

2. PA垂直于直角梯形ABCD 所在平面 角ABC=90°AB=PA=BC=a AD=3a
1）证明：平面PAB垂直于 平面 PBC
（2）求二面角C-PD-A 的大小；
（3）在线段AD 上是否存在点E ，使直线PB 与CE 所成
角大小为60° ？如果存在，求出点E 的位置；如果不存在，说明理由．

Answer 1

1.
(Ⅰ)证明：
∵B1D⊥平面ABC，AC在平面ABC内，∴B1D⊥AC.
又∵AC⊥BC，BC∩B1D=D ∴AC⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)解：连结B1C.
∵AC⊥平面BB1C1C，要使AB1⊥BC1，由三垂线定理可知，只须B1C⊥BC1
∴平行四边形BB1C1C为菱形， 此时，BC=BB1．
又∵B1D⊥BC，要使D为BC中点，只须B1C= B1B，即△BB1C为正三角形 ∴∠B1BC=60°．
∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上 ∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB1⊥BC1，且使D为BC中点．
(Ⅲ)解：过点C作CE⊥B1C1于E点，连结AE、AC1.
∵AC⊥平面BB1C1C ∴AE⊥B1C1
∴∠AEC是二面角A-B1C1-C的平面角.
由(Ⅱ)知：BB1=BC=2，α=60° ∴B1D=√3，CE=B1D=√3
∵SBB1C1C=BC*B1D=2√3
∴(1/3)*SBB1C1C*AC=VA-BB1C1C=(2√3)/3，则AC=1.
在Rt△AEC中，tan∠AEC=AC/CE=(√3)/3
∴∠AEC=30°，故二面角A-B1C1-C的大小为π/6.

2.
(1)证明：
∵PA⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内 ∴PA⊥BC.
∵AB⊥BC，PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB.
(2)解：在AD上取一点M，使AM=BC=a，过点M作MN⊥PD于点N，连结CM、CN.
∵四边形ABCD是直角梯形 ∴∠BAD=90°，BC//AD
∴AB⊥AD，四边形ABCM是平行四边形，则有CM//AB，CM⊥AD，CM=AB=a.
∵PA⊥平面ABCD，CM在平面ABCD内 ∴PA⊥CM.
∵PA∩AD=A ∴CM⊥平面PAD，则CM⊥PD，CM⊥MN.
∵MN⊥PD，CM∩MN=M ∴PD⊥平面CMN ∴PD⊥CN.
即∠CNM就是二面角C-PD-A的平面角.
易求得：PD=(√10)a，MD=2a，△DNM∽△DAP，则MN/PA=MD/PD，解得：MN=(√10)a/5.
在Rt△CMN中，tan∠CNM=CM/MN=(√10)/2，故二面角C-PD-A的大小为arctan(√10)/2.
(3)解：连结PM，BM.
由勾股定理，可知：AB^2+PA^2=PB^2，AM^2+PA^2=PM^2，AB^2+AM^2=BM^2.
∵AB=PA=AM=a ∴PB=PM=BM，即△BPM是等边三角形，则∠PBM=60°.
故过点C作BM的平行线，与AD的交点便是所求的E点.
易证出四边形BCEM是平行四边形，则ME=BC=a，此时DE=a.
故线段AD上存在点E，使直线PB与CE所成角大小为60°.
此时，点E是线段AD上靠近点D的那个三等分点.

Answer 2

有原题吗？最好配上图。ok？