Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2A+√3cos2A...

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2A+√3cos2A=√3 （1）求角A的大小； （2）若b=2√3，△ABC的面积为√3，求a+b+cbcosC+ccosB的值．

Answer 1

解：（1）∵sin2A+√3cos2A=2（sin2Acosπ3+cos2Asinπ3）=2sin（2A+π3）
∴2sin（2A+π3）=√3，可得sin（2A+π3）=√32
∵π3＜2A+π3＜7π3，
∴2A+π3=2π3，解之得A=π6；
（2）∵b=2√3，△ABC的面积为√3，
∴S=12bcsinA=√3，即12×2√3c×12=√3，解之得c=2
由余弦定理，得a=√b2+c2-2bccosA=√12+4-2×2√3×2×√32=2
由斜三角形的射影定理，可得bcosC+ccosB=a=2
∴a+b+cbcosC+ccosB=2+2√3+22=2+√3．